신호 및 시스템 20강, 이산 시간 푸리에 변환의 Duality

DTFT에서의 duality는 왜 조금 다르게 나타날까?

연속시간 푸리에 변환에서는 analysis equation과 synthesis equation 사이에 꽤 예쁜 대칭이 있다. 그래서 어떤 transform pair를 뒤집어 읽는 방식의 duality가 자연스럽게 성립한다. 그런데 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)에서는 그 대칭이 그대로 유지되지 않는다. 이유는 단순하다. 시간축은 이산적이고, 주파수가 연속적이되 $2\pi$-주기적이기 때문이다. 즉, 애초에 같은 종류의 객체를 다루고 있지 않다. 그래서 CTFT에서처럼 analysis 식과 synthesis 식이 서로를 거의 거울처럼 반사하는 구조는 아니다.

하지만 여기서 “그럼 duality가 아예 없는가?”라고 물으면, 답은 그렇지 않다.

DTFT 자체에는 CTFT와 같은 형태의 self-duality가 없지만, 대신 두 가지 중요한 duality가 등장한다.

첫째는 discrete-time Fourier series(DTFS) 내부의 duality이고,

둘째는 DTFT와 continuous-time Fourier series(CTFS) 사이의 duality이다.

즉, 이산시간에서는 duality가 사라진 것이 아니라, 조금 다른 자리로 옮겨 간 셈이다.

1. DTFS 안에서는 duality가 분명하게 존재한다.

주기 $N$을 갖는 이산시간 신호 $g[n]$가 있고, 푸리에 급수 계수를 $f[k]$라고 하자. 그러면 두 수열은

$$ g[n] \leftrightarrow f[k] $$

의 관계에 있다. 그런데 이 관계를 조금 다르게 쓰면, 이번에는 $f[n]$의 푸리에 급수 계수가 $\frac{1}{N}g[-k]$가 됨을 알 수 있다. 즉,

$$ f[n] \leftrightarrow \frac{1}{N}g[-k] $$

가 성립한다.

이 식은 DTFS에서의 duality를 아주 압축적으로 보여준다. 원래 신호와 계수열의 역할이 서로 교환되는데, 그 과정에서 시간 반전과 $1/N$ 스케일링이 따라붙는다. 연속시간에서 duality를 말할 때 “시간축과 주파수축의 역할이 바뀐다”고 했다면, 여기서는 “신호열과 Fourier 계수열의 역할이 바뀐다”고 이해하면 된다.

이 성질이 중요한 이유는, 하나의 FS 성질을 알면 그에 대응되는 또 다른 성질을 거의 공짜로 얻을 수 있기 때문이다. 예를 들어 시간 이동 성질

$$ x[n-n_0] \leftrightarrow a_k e^{-jk(2\pi/N)n_0} $$

은 주파수 이동에 해당하는 성질

$$ e^{jm(2\pi/N)n}x[n] \leftrightarrow a_{k-m} $$

과 dual 관계에 있다. 즉, 시간축에서의 shift와 계수축에서의 shift는 서로 대응되는 구조다.

마찬가지로 주기적 합성곱과 곱셈도 서로 dual이다. 한쪽에서는

$$ \sum_{r=\langle N\rangle}x[r]y[n-r] \;\leftrightarrow\; N a_k b_k$$

가 되고, 다른 한쪽에서는

$$ x[n]y[n] \;\leftrightarrow\; \sum_{l=\langle N\rangle}a_l b_{k-l} $$

가 된다.

즉, 시간영역의 주기적 합성곱은 계수영역의 곱셈으로, 그리고 시간영역의 곱셈은 계수영역의 주기적 합성곱으로 넘어간다. 구조를 뒤집어 보면 자연스럽게 맞는다.

2. DTFS duality는 계산을 줄여주는 도구이기도 하다

dual property는 예쁜 대칭으로 끝나지 않는다. 실제 계산량도 줄여준다. 예를 들어 주기 N=9인 다음 신호를 보자.

$$ x[n]= \begin{cases} \dfrac{1}{9}\dfrac{\sin(5\pi n/9)}{\sin(\pi n/9)}, & n\neq \text{multiple of }9\\[6pt] \dfrac{5}{9}, & n=\text{multiple of }9 \end{cases} $$

이 식만 보면 직접 Fourier series 계수를 계산하고 싶은 마음이 별로 안 든다.

그런데 Chapter 3에서 이미, 직사각형 모양의 periodic square wave가 이런 꼴의 Fourier 계수를 갖는다는 사실을 알고 있다면 이야기가 달라진다. 그러면 이 신호는 “어떤 직사각형 신호의 계수열”처럼 보이고, duality에 의해 자신의 Fourier 계수는 거꾸로 직사각형 형태일 것이라고 바로 예측할 수 있다. 실제로 계수는

$$ a_k= \begin{cases} 1/9, & |k|\le 2\\ 0, & 2<|k|\le 4 \end{cases} $$

이고, 물론 $N=9$ 주기로 반복된다.

즉, 복잡한 삼각함수 비율 형태의 신호가 계수영역에서는 아주 단순한 박스 모양으로 바뀐다. duality는 이런 식으로 “이미 알고 있는 한 쪽의 결과”를 “다른 쪽의 결과”로 재활용하게 해준다.

3. DTFT와 CTFS 사이에도 duality가 있다

이제 조금 더 흥미로운 쪽을 보자. 이게 가장 재밌어지는 부분이다!

DTFT 자체는 CTFT처럼 자기 안에서 완전한 대칭을 이루지 않지만, 대신 DTFT의 식은 CTFS의 식과 묘하게 닮아 있다. DTFT의 synthesis equation과 analysis equation은

$$ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega, \qquad X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} $$

이다. 한편 CTFS에서 주기 $T$를 갖는 신호 $x(t)$의 표현은

$$ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{jk\omega_0 t}, \qquad a_k=\frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt $$

였다.

이 둘을 가만히 비교해 보면, DTFT의 주파수 영역 함수 $X(e^{j\omega})$는 $\omega$에 대해 주기 $2\pi$ 를 갖는다. 즉, $X(e^{j\omega})$ 자체를 하나의 연속시간 주기 함수처럼 보고 Fourier series로 전개할 수 있다는 뜻이다. 그러면

$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$$

은 정확히 “주기 함수 $X(e^{j\omega})$의 Fourier series 전개식”처럼 읽힌다. 이 관점에서는 $x[n]$이 바로 그 Fourier series 계수 역할을 한다. 다시 말해, DTFT는 이산시간 신호를 주파수 영역의 주기 함수로 보내는 변환이면서 동시에, 그 주기 함수의 Fourier series 계수를 읽는 과정으로도 해석된다.

이건 꽤 중요한 관점 변화다. 보통 우리는 $x[n]\to X(e^{j\omega})$를 “변환”이라고만 생각하는데, 사실은 $X(e^{j\omega})$를 $\omega$에 대한 주기 신호로 보면, DTFT는 Fourier series와 거의 같은 구조를 갖는다. 다만 독립변수가 $t$가 아니라 $\omega$일 뿐이다.

4. 이 duality로 sinc 형태의 DTFT를 쉽게 얻을 수 있다

이 관점이 유용한 이유는, CTFS에서 이미 알고 있는 결과를 DTFT로 옮겨올 수 있기 때문이다. 예를 들어 다음 수열을 생각하자. ($n=0$에서는 연속 연장값으로 $x[0]=1/2$로 이해하면 된다.)

$$x[n]=\frac{\sin(\pi n/2)}{\pi n}$$

이 수열의 DTFT를 직접 계산하려면 합을 다뤄야 해서 다소 번거롭다. 그런데 CTFS 쪽에서 주기 $2\pi$인 직사각파

$$ g(t)= \begin{cases} 1, & |t|\le \pi/2\\ 0, & \pi/2<|t|\le \pi \end{cases} $$

를 생각하면, 이 신호의 Fourier series 계수는

$$a_k=\frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}$$

가 된다. 즉, $a_k=x[k]$이다.

그러면 DTFT-CTFS duality에 의해 $x[n]$의 DTFT는 바로 그 직사각파가 된다. 따라서

$$X(e^{j\omega})= \begin{cases} 1, & |\omega|\le \pi/2\\ 0, & \pi/2<|\omega|\le \pi \end{cases}$$

이며, 이것이 $2\pi$-주기로 반복된다.

결국 익숙한 결과 하나가 다시 등장한다.

시간영역의 sinc류 형태는 주파수영역의 rectangle로 대응된다.

다만 discrete-time에서는 주파수축이 $2\pi$-주기이므로, 이 rectangle이 한 번만 나타나는 것이 아니라 주기적으로 반복된다는 점이 연속시간과 다르다.

마무리

정리하면, DTFT에서 duality를 이야기할 때 CTFT에서처럼 “변환 자체가 자기 대칭적이다”라고 말하면 정확하지 않다. 대신 핵심은 다음 두 문장으로 정리된다.

• DTFS 내부에는 분명한 duality가 존재한다.
• 신호와 계수열의 역할이 교환되며, 시간 반전과 스케일링이 함께 따라온다.
• DTFT는 CTFS와 dual한 관계로 읽을 수 있다.
• $X(e^{j\omega})$를 $\omega$에 대한 주기 함수로 보면, $x[n]$은 그 Fourier series 계수다.

그래서 이산시간에서의 duality는 “없다”가 아니라, 더 정확히는 다른 자리에서 살아 있다고 보는 편이 맞다.

그리고 이 관점은 성질을 외우는 데서 끝나지 않고, 실제 transform pair를 빠르게 얻는 계산 도구로도 꽤 강력하다.

Duality를 한 번에 보여주는 도식. 이 그림에 나오는 수식을 자연스럽게 쓸 수 있고 관계를 "이해"한다면 신호및시스템 중간고사는 보통 평균은 간다..

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출처 : Oppenheim, Signals & Systems [2nd Edition] pp.391~pp.422